После включения принтера мигают два нижних светодиода. Картриджи не выезжают из парковочного положения при открытии крышки принтера. Такое ощущения, что блок картриджей за что-то зацепился, или его заклинило. Компутер пишет, что-то вроде того, что механизм перемещеиия блока картриджей повреждён. Стоит ли попробовать силой выдвинуть картриджи из парковочного положения?

Наиболее распространенная болезнь 3820. Механизм парковки приводится в действие от основного вала через блок шестерен, в котором и есть поломка. В итоге, механизм парковки не приводся в действие, и каретка заклинена в парковочном положении. Ломать не стоит - нужно разобрать принтер и вручную освободить каретку.
Далее. В блоке шестерен есть пара оных, находящихся на одной оси и зацепляющихся друг с другом выступами - наверняка произошла поломка одного или обоих выступов. Поломка этих шестерен - причина как аппаратной, так и программной недоработки принтеров HPDJ3820.